Maths

Définition: Soit x un nombre. La valeur absolue de x est le nombre positif noté |x| est défini ainsi: Si x est positif, alors, |x| = x Si x est négatif, alors |x| = -x

• |52| = 52
• |-8| = 8
• | x²| = x², car un carré est forcément positif.

IMPORTANT: pour tout nombre x:

• |-x| = |x|
• V(x²)= |x|
• |x| = 0 équivaut à x = 0

a étant un nombre strictement positif et x un nombre quelconque:

TRANSLATIONS ET ROTATIONS

Définition 2 : O est point fixe.

• L'image d'un point M distinct de O par la rotation de centre O et d'angle d dans le sens de la flèche est le point M' tel que : OM' = OM et MOM'= d.
• L' image du point O est le point O lui-même.

 SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES À DEUX INCONNUES

Définition 1 :

Soit a, b et c trois nombres donnés. Toute équation de la forme ax + by = c est une équation linéaire à deux inconnues.

Remarque : le couple solution de cette équation est le couple (x0 ; y0) tel que ax0 + bx0 = c.

1 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

En statistiques, on distingue deux notions élémentaires : d'une part la population statistique, d'autre part les individus qui la composent. On définit alors un caractère qui peut être qualitatif (par exemple, une caractéristique physique), ou quantitatif (la taille).

Exemple : On prend comme population l'ensemble des élèves d'une classe. Le caractère étudié peut être la taille, ou bien encore la moyenne générale.

 VECTEURS ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

1.1 Notation et représentation graphique

Soit un vecteur donné, caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur (non nulle). On choisit ce vecteur constant comme vecteur de translation t.

Tous les couples de points (M, M'), où M est un point quelconque du plan et M' son image par la translation sont appelés représentants du vecteur choisi.

 RAPPELS INTRODUCTIFS

Remarques préliminaires sur les inégalités

• Lorsque l’on ajoute deux inégalités dans le même sens, on obtient une inégalité de même sens que les deux précédentes.
  Si a £ b et c £ d alors (a + c) £ (b + d)
• Lorsque l’on multiplie membre à membre deux inégalités de même sens et dont les termes sont positifs, on obtient une inégalité de même sens que les deux précédentes
  Si a , b, c et d positifs et a £ b et c £ d alors ac £ bd

 PREMIÈRES DÉFINITIONS

• Définition 1 : Un plan est défini par trois points non-alignés. Autrement dit, soit trois points A, B et C non-alignés. Ces trois points définissent un plan que l'on appellera (ABC).
• Définition 2 : Si une droite (D) contient deux points A et B d'un plan (P), alors cette droite est incluse dans ce plan.
• Définition 3 : soit A, B, et C trois points non-alignés st D un point quelconque de l'espace. Les quatre points sont coplanaires si et seulement si D est u point du plan défini par (ABC).
• Définition 4 : soit (P) et (P') deux plans distincts. Si ces deux plans ont un point en commun, alors leur intersection est une droite qui passe par ce point.

1 MESURE ALGÉBRIQUE

1.1 Repère

 FONCTION ET COURBE REPRÉSENTATIVE

Définition 1 :

Soit I un intervalle ou une réunion d'intervalle de R.

Définir une fonction f de I dans R, c'est associer à chaque réel x de I au plus un réel de R noté f(x).

I est alors l'ensemble de définition de f : on dit que f est définie sur I

f(x) est ainsi un réel qui est l'image de x par f.

1 LES FONCTIONS AFFINES

Définition de la fonction :

• soit a et b deux nombres donnés, avec a différent de 0
• Ensemble de définition de f : R
• pour tout x de R, f(x) = ax + b

Caractéristiques de la fonction :

• Si a > 0, f est strictement croissante sur R
• Si a < 0, f est strictement décroissante sur R
• Valeurs remarquables : f(-b/a) = 0 et f(0) = b

Tableau de variation (ici, a>0) :

1 MÉDIATRICE

Définition : Soit un segment [AB], et I son milieu. La médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire en I à la droite (AB).
Propriété : Si M est un point de la médiatrice de [AB], alors on a MA = MB. La réciproque est vraie.

Définition : Soit O un point et r un nombre réel positif. Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à la distance r de O.
Propriété : Si on considère la corde d'un cercle, la médiatrice de cette corde passe par le centre du cercle.

1 RAPPEL : FACTORISATION ET DÉVELOPPEMENT

1.1 Le développement

Développer une expression, c'est chercher à obtenir une écriture sans parenthèses. Pour cela, on peut avoir recours aux identités remarquables.

• a (b + c) = ab + ac (vrai pour tous nombres a, b, c)
• 5(x + 9) = 5x + 45

Rapport entre degrés et radians

Le radian est une unité de mesure des angles. En radians, l'angle plat mesure p. (p est un nombre dont la valeur est égale à 3, 14 environ). On a donc p = 180°.

Remarques :

• l'abréviation de " radian " est souvent " rad ".
• La mesure d'un angle en radians peut être effectuée à l'aide d'un rapporteur.